линейная-алгебра — Найти ортогональный базис
Используйте процесс Грама ― Шмидта, чтобы найти ортогональный базис в линейной оболочке следующей системы векторов: $%e_1=\pmatrix$%, $%e_2=\pmatrix$%, $%e_3=\pmatrix$%.
задан 27 Окт ’14 16:00
Рита Вернер
29 ● 1 ● 1 ● 6
100% принятых
1 ответ
Будем строить ортогональный базис $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%.
Полагаем $%f_1=e_1$%. Следующий вектор ищем в виде $%f_2=e_2+\alpha f_1$%. Векторы должны быть ортогональны, откуда $%0=(f_1,f_2)=(e_1,e_2)+\alpha(e_1,e_1)$%. Находим скалярные произведения: $%(e_1,e_1)=7$%; $%(e_1,e_2)=-5$%. Отсюда $%\alpha=5/7$%. Чтобы избежать дробей, производим умножение на $%7$%, то есть полагаем $%f_2=7e_2+5f_1=(-9;12;3;-9)$%, и теперь можно сократить на $%3$%, окончательно имея $%f_2=(-3;4;1;-3)$% (в виде столбца).
Теперь ищем третий базисный вектор в виде $%f_3=e_3+\beta f_1+\gamma f_2$%, исходя из условий ортогональности $%0=(f_3,f_1)=(e_3,f_1)+\beta(f_1,f_1)$% и $%0=(f_3,f_2)=(e_3,f_2)+\gamma(f_2,f_2)$%. Скалярные произведения таковы: $%(f_1,f_1)=7$%; $%(f_2,f_2)=35$%; $%(e_3;f_1)=-8$%; $%(e_3;f_2)=24$%. Отсюда $%\beta=8/7$% и $%\gamma=-24/35$%. Производим домножение на 35, полагая $%f_3=35e_3+40f_1-24f_2=(-28;-21;21;7)$%, после чего сокращаем на 7, имея столбец $%f_3=(-4;-3;3;1)$%.
Искомый базис имеет вид $%f_1=(1;1;2;1)$%; $%f_2=(-3;4;1;-3)$%; $%f_3=(-4;-3;3;1)$%. Можно на всякий случай сделать проверку, убедившись в ортогональности построенной системы.
отвечен 27 Окт ’14 16:26
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Как найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение 0201400 » 25 фев 2014, 20:20
Не знаю, в тот ли раздел. Вот задача, прошу помощи, хотя бы по первому пункту:
1. Найти ортогональный базис линейной оболочки, натянутой на следующие векторы \(a_1=(1,i,1); a_2=(0,i,0)\)
2. Найти матрицу перехода от базиса \(a_1 a_2\) к ортогональному. Сделать проверку.
3. Найти базис в ортогональном дополнении к \(L(a_1,a_2)\) . Сделать проверку.
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение Алексей » 25 фев 2014, 23:00
Насколько я помню, там используется процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Сейчас подробно расписать, к сожалению, не могу — много срочной работы, но завтра вечером, думаю, смогу подробно ответить на ваши вопросы.
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение Алексей » 26 фев 2014, 19:39
Итак, поднял свои старые конспекты, — действительно, для ответа на вопрос первого пункта нужно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нам заданы два вектора трёхмерного пространства \(R^3\) , причём, насколько я понимаю, скалярное произведение считается по стандартной формуле (т.к. в условии не оговорено обратное). Так как параметр \(i\) в условии не пояснён, то будем считать его просто некоей константой.
Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\) . Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\) , \(a_2\) — линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\) , для которого выполнено равенство:
Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\ < \begin&1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end \right.\) . Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\) , \(a_2\) - линейно независимы.
Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\) , \(b_2\) . Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\) . Далее, \(b_2=a_2-\frac\cdot b_1\) . Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_|^=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»
Линейная алгебра. Ортонормальный базис линейной оболочки и еще несколько примеров на похожие темы.
В пространстве R5 даны три вектора f1(1,2,3,4,5); f2 (5,7,8,13,14); f3 (2,-7,2,-1,2).
1. Найти ортонормированный базис линейной оболочки системы векторов f1, f2, f3.
2. Найти проекцию и ортогональную составляющую вектора f3, при ортогональном проектировании на линейную оболочку векторов f1 и f2.
а) Использую матрицу Грама векторов f1, f2, f3;
б) Используя ортонормальный базис, найденный в пункте 1.
3. К системе уравнений a1x1 + a2x2 = b, где a1 = f1, a2 = f2, b = f1 + f2 + f3, применить метод наименьших квадратов. Найти d(дельта)^2 = (|b — a1x1 — a2x2|)^2
Примечание. Процесс ортоганализации следует применять к векторам f1, f2, f3 в том порядке, в котором они выписаны.
Эту контрольную работу мне нужно сдать в понедельник, 20 числа. Надеюсь на коллективный разум, так как мой здесь бессилен.
Дополнен 13 лет назад
Умники и умницы) от того, сдам я эту контрольную или нет, зависит останусь я в институте или пойду в армию) помогите, кто чем может)
Дополнен 13 лет назад
надеюсь, здесь нет представителей военкомата)
Дополнен 13 лет назад
еще не поздно ответить) мне к 15:30 на экзамен)
Дополнен 13 лет назад
Будут полезны даже ссылки на подобные примеры. Я уже дня 2 мучаюсь с этим =(
Дополнен 13 лет назад
можно и не само решение написать, а примерный план решения. Из серии «. теперь вот этим методом получить вот это. «
Лучший ответ
Коллективный разум работает только с мощным питанием, учитывая такие сроки и количество заданий 🙂 Про*пал ты контрольную.
Пример 3. Построение ортонормированного базиса
Построить ортонормированный базис подпространства пространства 
натянутого на систему векторов
и
Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространства
которое является линейной оболочкой векторов
Применим к этим векторам процесс ортогонализации.
Вначале возьмём 
Вектор
будем искать в виде
Из условия перпендикулярности
получаем:
Следовательно,
Далее, следующий базисный вектор будем искать в виде
Из условий
и
получаем:
и
Отсюда 
Таким образом, ортогональный базис пространства
таков:
Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:
Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.
Убедиться в том, что векторы 
ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.
Решение.Проверим ортогональность. Имеем:
Следовательно,
Таким образом, мы можем положить
Другие векторы
ортогонального базиса удовлетворяют условиям
и
Пусть
Условие
даёт систему
Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:
Перенесём
в правую часть:
Переменные
здесьсвободные, а переменные
–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначале
затем
и найдём
Составим таблицу: