Найти все инвариантные подпространства
Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
| Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» | 29.08.2019 00:42 | |
| Открыта свободная публикация вакансий для математиков | 26.09.2019 16:34 | |
| ML Research Engineer, до $8k/мес net | 06.09.2023 14:11 | |
31.05.2019 02:35
Дата регистрации:
4 года назад
Найти все инвариантные подпространства
Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора на n-мерном пространстве, имеющего в некотором базисе диагональную матрицу D с n различными элементами на диагонали.
Мои рассуждения: раз матрица диагональная, значит в базисе из собственных векторов. Отсюда инвариантные подпространства нашел только такие: линейные оболочки всех наборов из собственных векторов. Есть ли еще?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.05.2019 02:39.
31.05.2019 10:05
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 2 928
Для каждого собственного числа в Вашем случае существует ровно одно соответствующее ему инвариантное подпространство.
Если Е — какое-нибудь инвариантное подпространство, то докажите, что содержащиеся в нем собственные векторы образуют его базис.
Научный форум dxdy
Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1. eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?
13.04.2008, 12:02
| Заслуженный участник |
Интересно, откуда Вы взяли эту задачу? Я, например, не уверен, что на нее есть полный ответ
13.04.2008, 12:05
Вот и у меня такое же подозрение. Задачник Беклимешовой по ангему и линалу.
Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:
Хорошо. А какие можно найти точно и как?
13.04.2008, 15:27
| Заслуженный участник |
По-моему, жорданова нормальная форма вам поможет.
Re: Инвариантные подпространства
13.04.2008, 15:51
malykh89 писал(а):
Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1. eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?
То есть найти такие подпространства n-мерного вещественного пространства, что при действии на элементы этих подпространств оператора k они преобразуются сами в себя.
Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы). Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет (т.е. только нулевой элемент n-мерного вещественного пространства преобразуется сам в себя). Если — есть, то нужно найти все собственные векторы оператора k, соответствующие единице. Все элементы линейной оболочки над этими векторами при действии на них оператора k преобразуются сами в себя. Соответственно любое подпространство этой линейной оболочки будет инвариантным
относительно оператора k. Наверное (в этом случае) так и следует сформулировать ответ — это все подпространства линейной оболочки, построенной на таких-то векторах (которые нужно будет вычислить).
Вроде бы так, если я правильно догадался, что такое подпространство, инвариантное относительно некоторого оператора.
Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного (
-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее 
(если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).
Re: Инвариантные подпространства
13.04.2008, 16:09
Александр Т. писал(а):
malykh89 писал(а):
Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1. eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?
Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).
имелось в виду последнее, но откуда взялось число ? и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?
13.04.2008, 16:15
| Заслуженный участник |
Александр Т. писал(а):
Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы).
А как это сделать, если нет алгоритма решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше
Александр Т. писал(а):
Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет
Ничего не понял! Каких подпространств нет — собственных? Это неверно.
Александр Т. писал(а):
Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству.
Интересное дело — Вы беретесь разъяснять вопрос, не зная даже стандартных определений объектов, о которых спрашивается в этом вопросе
Александр Т. писал(а):
Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).
Это неверно. Рассмотрим тождественный оператор. Любое одномерное подпространство является для него собственным. Даже в двумерном пространстве можно построить континуум разных одномерных подпространств
Инвариантные подпространства
Пусть — линейное преобразование линейного пространства называется инвариантным относительно преобразования принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство .
Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором , совпадают.
Примеры инвариантных подпространств
Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).
1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.
2. Для тождественного преобразования является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.
3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.
4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.
5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.
6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.
7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .
8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .
9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , вокруг оси инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство
Свойства инвариантных подпространств
1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.
2. Для любого линейного преобразования ядро и
3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем
В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .
4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.
Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство
Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства — подпространство, инвариантное относительно преобразования пространства
где преобразования , . И наоборот, если в некотором базисе матрица ), то преобразование подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства базисных векторов по этому базису, получаем
так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы Следствие. Если n-мерное пространство , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид
где — матрица сужения преобразования .
Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид
4. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен и его инвариантность. След преобразования
Определение. Проектор (или оператор проектирования) – оператор $P:V \rightarrow V$, удовлетворяющий условию $P \circ P=P^2=P$.
$V=W_1 \oplus . \oplus W_n$, тогда $\forall x \in V$ однозначно представляется в виде $x=x_1+. +x_n,~x_i \in W_i$
$P_i: x \mapsto x_i,~i=1. n$ – проекторы, $P_i^2=P_i$
$P_1+. +P_n=\Id$ – тождественный оператор.
$P_iP_j=0$, если $i \neq j$
$P_iP_j(x)=P_i(x_j)=0,~x_j=0+. +0+x_j+0+. +0$
$K_i=\Ker P_i=W_1 \oplus . \oplus \widehat \oplus . \oplus W_n$ ($\widehat$ – означает, что $W_i$ отсутствует).
Теорема. Пусть $P_1. P_m: V \rightarrow V$ – конечный набор линейных операторов, таких что:
1) $\sum\limits_^m = \Id$
2) $P_iP_j=0,~i \neq j$
Тогда $V=W_1 \oplus . \oplus W_m,~W_i=P_iV$
$\blacktriangle~ x=\Id x=\sum P_ix$
$x=\sum x_i,~x_i \in W_i \Rightarrow V=W_1+. +W_n$
Допустим, сумма не прямая
$x \in W_j \cap (\sum\limits_ W_i),~W_i=\Im P_i$
Существуют $x_1. x_m~(x_i \in W_i)$ такие что $P_j(x)=x=\sum\limits_ P_i(x_i)$
$P_iP_j(x)=x=P_j(\sum\limits_ P_i)(x_i)=0$ – противоречие с тем, что $x \neq 0$.
$W_j \cap (\sum\limits_ W_i)=0 \Rightarrow V=W_1 \oplus . \oplus W_m ~\blacksquare$
Пусть есть проектор $P: \Im P=W,~\Ker P=K$
$P$ – проектор на $W$ вдоль $K$ (соглашение).
Выберем базис в $\Im P,~\Ker P$
Вместе они дают базис в $V$.
Матрица проектора $P: \begin E_r & 0 \\ 0 & 0 \end,~ r=\rank P = \dim \Im P$
Замечание. Проекторы $P_1. P_m$, удовлетворяющие соотношению $P_iP_j=\delta_P_j~(\delta$ – символ Кронекера, $\delta_ = \begin 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end)~~~$
составляют орготональную систему проекторов (идемпотентов).
Если выполнено условие $\sum P_r=\Id$, то говорят о полной ортогональной системе.
Инвариантные подпространства
$A: V \rightarrow V$ – линейный оператор.
$x \mapsto Ax,~x \in V$, $A$ переводит подпространство в подпространство.
Определение. Подпространство $U \subset V$ инвариантно относительно $A$, если $AU \subseteq U$.
Пример. 1) $\Ker A,~\Im A,~\< 0 \>,~V$ – инвариантные подпространства.
2) Пусть $V$ – пространство многочленов степени не выше $n$, $D$ – оператор дифференцирования.
$\ < 0 \>\subset V_1 \subset V_2 \subset . \subset V_ \subset V_n \subset V$, где $V_i$ – пространство многочленов степени не выше $(i-1)$.
Пусть $A: V \rightarrow V$ – оператор, $U \subset V$ – инвариантное подпространство
$V=U \oplus W,~W$ – какое-то подпространство.
Выберем базис в $U,~W \Rightarrow$ базис в $V$.
Матрица оператора $A= \begin A_1 & A_2 \\ 0 & A_3 \end, ~A_1$ – ограничение $A$ на $V$.
$U,~W$ – инвариантные подпространства относительно $A$.
Матрица $A= \begin A_1 & 0 \\ 0 & A_3 \end$
Собственные вектора. Характеристический многочлен
Определение. Любой $x \neq 0$ из одномерного инвариантного подпространства называется собственным вектором.
Если $x$ – собственный вектор оператора $A$, то $Ax=\lambda x,~\lambda \in \mathbb$, где $\lambda$ называется собственным значением.
$Ax=\lambda x \Rightarrow A^kx=\lambda^kx,~f(A)x=f(\lambda)x$
$f(A)=0 \Rightarrow f(\lambda)=0$
Определение. $V^<\lambda>=\< x \in V ~|~ Ax=\lambda x \>$ – подпространство собственных векторов с собственным значением $\lambda$ (собственное подпространство).
Корректность определения.
$Ax=\lambda x,~Ay=\lambda y$
$\alpha \in \mathbb,~~A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha \cdot \lambda x=\lambda \cdot \alpha x \Rightarrow \alpha x \in V^<\lambda>$
Пусть $x$ – собственный вектор с собственным значением $\lambda$, т.е. $Ax=\lambda x$
Условие существования собственного вектора: $(A-\lambda E)x=0$ – система имеет нетривиальное решение.
$e_1. e_n$ – базис в $V$ и $x=x_1e_1+. +x_ne_n$
Собственные значения удовлетворяют $(*)$ и только они.
$x$ находится как решение системы $(A-\lambda E)x=0$.
$\dim V^<\lambda>=n-r$, где $r$ – ранг матрицы $(A-\lambda E)$.
$\det(A-\lambda E)=(-1)^n\det(\lambda E — A)=\sum\limits_ <\pi>\varepsilon_\pi(\delta_<1,\pi_1>t-a_<1,\pi_1>)(\delta_<2,\pi_2>t-a_<2,\pi_2>). (\delta_
Получим характеристический многочлен:
$\chi_A(\lambda)=\det(\lambda E — A)=t^n+\chi_1t^+. +\chi_t+\chi_n$
Определение. Следом матрицы называется сумма элементов главной диагонали матрицы, $\tr A = \sum a_$.
Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
$A$ и $A’$ – подобные, если $\exists C: A’=C^AC$.
$\det(A’-\lambda E)=\det(C^AC-\lambda E)=\det(C^(A-\lambda E)C)=\det(A-\lambda E) ~\blacksquare$