Что делать если в числителе 0

В дроби, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, результат равен нулю. Мы учились этому в начальной школе.

Пояснение

дает тот же результат, но вы не можете проверить это, потому что на вашем калькуляторе нет клавиши ∞ . В конце концов, бесконечность — это не число. В любом случае, мы считаем результат логичным. Теперь мы хотим исследовать, что такое дробь

тогда получается. Мы знаем, что Δx обращается в ноль, но оно не равно нулю, и поэтому на него можно делить. Значит, ответ здесь должен быть 0 . Но опять же вы не можете это проверить, потому что на вашем калькуляторе нет клавиши Δx .

2. Перемена знаков в числителе и знаменателе дроби

Если дано какое-либо рациональное выражение $A$, то, умножив его на $-1$, получаем ( − 1 ) ⋅ A = − A .

Два рациональных выражения $A$ и $-A$ называются взаимно противоположными рациональными выражениями, если их сумма равна $0$, то есть $A+(-A)=0$ .

Так же как и противоположные числа, противоположные выражения друг от друга отличаются только знаком.

Выражения $5$ и $-5$; $a+b$ и $-a-b$; x y и − x y ; m 2 − m + 3 и − m 2 + m − 3 , это взаимно противоположные выражения, так как:

Дробь равна нулю

Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

drob-ravna-nulyu

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

4) Записать ответ.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

Общий множитель 4x выносим за скобки

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

Ответ: нет корней.

$4)\frac{{{x^2} - x - 42}}{{16{x^2} - 8x + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - 42 = 0\\ 16{x^2} - 8x + 1 \ne 0 \end{array} \right.$

Решаем квадратное уравнение

$a = 16;b = - 8;c = 1$

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 8}}{2}} \right)^2} - 16 \cdot 1 = 0$

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{8}{{2 \cdot 16}} = \frac{1}{4}$

Теперь решаем уравнение

$a = 1;b = - 1;c = - 42$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 42) = 169$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 13}}{2}$

${x_1} = \frac{{1 + 13}}{2} = 7;{x_2} = \frac{{1 - 13}}{2} = - 6.$

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Что такое числовая дробь

Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок — для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби — это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.

Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.

(или просто дробь) — это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.

Дроби, записанные через горизонтальную черту:

Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Обычно дроби записываются через горизонтальную черту — так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу — знаменателем.

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение — знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»

Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.

Основное свойство дроби

Дроби a / b и c / d называются ,

Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Неправильные дроби. Выделение целой части

Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.

Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):

Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:

Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае — равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае — ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
Знаменатель переписываем без изменений.

Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться — и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:

Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:

Выделение целой части - подробности

Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления — зеленым.

Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24 : 6 = 4 — суровый факт из таблицы умножения.

Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.

Переход к неправильной дроби

Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.

Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:

Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
Переписать знаменатель — опять же, без изменений.

Вот конкретные примеры:

Задача. Переведите в неправильную дробь:

Переход от дроби с целой частью к неправильной дроби

Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби — зеленым.

Вынесение минуса за знак дроби

Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:

В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.

Сделать это очень просто, если вспомнить правила:

«Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
«Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их — никаких дополнительных действий не требуется.

Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего — в числитель).

Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем — с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:

Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.

Вынесение минуса за знак дроби

Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».

Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные — и лишь затем приступают к вычислениям.

Смотрите также:

Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
Умножение и деление десятичных дробей
Иррациональные неравенства. Часть 1
Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
Особенности решения текстовых задач

Вход для учеников
ЕГЭ-2024
Школьникам
1. Арифметика
Арифметика
Дроби
Модуль
Проценты
Корни
Степени
Прогрессии
Текстовые задачи
2. Алгебра
Уравнения
Системы уравнений
Неравенства
Системы неравенств
Рациональные дроби
Функции
Многочлены
Логарифмы
Экспонента
Задачи с параметром
Вероятность
4. Геометрия
Треугольники
Многоугольники
Окружность
Стереометрия
Векторы
3. Математический анализ
Тригонометрия
Предел
Производная
Интегралы
Студентам
Реклама
Обо мне

При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
Карта сайта

Что делать если в числителе 0