Каноническое уравнение параболы
Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.
То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.
Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.
Основные термины из канонического уравнения параболы
Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.
Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.
Статья: Каноническое уравнение параболы
Поможем написать реферат за 48 часов
Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Что из себя представляет каноническое уравнение параболы
Определение 2
Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.
Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.
А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.
«Каноническое уравнение параболы» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов
Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.
При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$
Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы
Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac
$ и $y = 0$.
Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — \frac
$.
Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.
Икс и игрек для этой точки равны $\frac
$ $y$ соответственно.
Запишем уравнение (1) в координатной форме:
Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.
Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции
Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:
$y_A = — \frac$, где $D = b^2 – 4ac$.
Пример составления классического уравнения параболы
Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.
Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac$ фокального параметра $\frac
= 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.
После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.
Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику
Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.
Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:
Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.
Парабола: что это, квадратичная функция, построение параболы
Парабола с греческого относится к конкретной плоской Кривой. Слово parabolh означает «сравнение», буквально «бросание рядом».
Вершина параболы: формула квадратичной функции
Мы знаем, что любое линейное уравнение с двумя переменными может быть записано в виде функции \(y=kx+b\) , и что его график является линией. В этой статье мы увидим, что любое квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) имеет изогнутый график, называемый параболой.
Две точки определяют линию. Однако, поскольку парабола изогнута, мы должны найти более двух точек. Найдем по крайней мере пять точек для создания приемлемого графика. Потом построим точки и нарисуем график параболы \(y_1=x^2+2x+3\) по точкам.
Учитывая квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) , \(x\) является независимой переменной, а \(y\) -зависимой переменной. Выберем некоторые значения для \(x\) , а затем определим соответствующие значения \(y\) .
Вывод: графиком квадратичного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) , где \(a ≠ 0\) является парабола.
- Если \(a> 0\) , то его вершина указывает вниз.
- Если \(a < 0\) , то его вершина указывает вверх:
- Если \(a = 0 \) , то граф не парабола, а прямая линия.
Вершина параболы находится в точке \(x=\frac< - b><2a>.\)
На рисунке выше изображены графики парабол \(y_1=x^2+2x+3\) и \(y_2=-x^2+6x-7\) . Рассчитаем вершины параболы (формула): \(x_1=\frac<-2>=-1\) и \(x_2=\frac=3.\) Свободный член \(3\) и \(-7\) означает пересечение с осью \(y\) , то есть сдвиг графика по оси \(OY.\)
Коэффициент \(b\) означает симметричность относительно оси \(OY.\) Если \(b=0\) , то вершина лежит оси \(OY.\)
Как определить, куда направлены ветви парабол?
Есть простое правило, по которому можно без построения графика увидеть, когда ветви параболы направлены вниз а когда вверх Для определения направления ветвей параболы, вы должны проанализировать коэффициент перед квадратичным членом уравнения параболы. Уравнение параболы в общем виде имеет вид:
- Если коэффициент «a» (коэффициент перед x в квадрате) положителен (a > 0), то ветви параболы направлены вверх. Такая парабола имеет минимум, который находится внизу, а ее значение увеличивается по мере удаления от вершины вниз и вверх.
- Если коэффициент «a» отрицателен (a < 0), то ветви параболы направлены вниз. В этом случае парабола имеет максимум в вершине, а ее значение уменьшается по мере удаления от вершины вниз и вверх.
При определении направления ветвей параболы, также полезно посмотреть на знак коэффициента «a», так как он определяет выпуклость или вогнутость параболы.
Применение параболы
Радиоволны часто должна быть сконцентрирована в одной точке например, радиотелескопы, платные телевизионные тарелки, солнечные коллекторы.
Излучение должно передаваться из одной точки в широкий параллельный луч (например, отражатели фар).
Параллельные радиоволны собираются параболической антенной. Параллельные лучи отражаются от антенны и встречаются в точке F, называемой фокусом.
Часто задаваемые вопросы:
↪ Вершина параболы — это точка на параболе, которая находится на равном удалении от фокуса и директрисы. Ее координаты можно найти по формулам \(x = -b/(2a)\) и \(y = c — (b^2)/(4a)\) .
↪ Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента «a» в уравнении. Если «a» положительный (a > 0), ветви направлены вверх; если «a» отрицательный (a < 0), ветви направлены вниз.
↪ Дискриминант уравнения параболы равен \(D = b^2 — 4ac\) . Значение дискриминанта определяет тип графика параболы: если D > 0, парабола пересекает ось x в двух различных точках и имеет ветви; если D = 0, парабола касается оси x в одной точке и имеет вершину на оси; если D < 0, парабола не пересекает ось x и не имеет вещественных корней.
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Гипербола и парабола
Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка, посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе. Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом. Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля. я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.
2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины
3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью.
В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.
Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет
У гиперболы, точно так же, как и у эллипса, есть две особенные точки , которые называются фокусами. Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым.
Общая концепция определения тоже похожа:
Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .
Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .
Для исследуемой гиперболы :
Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:
Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:
Если точку «перекинуть» на левую ветвь и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.
Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .
Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.
Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.
Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .
Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .
Для данного примера: .
По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:
При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси .
В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.
Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .
Равносторонняя гипербола
На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если , то каноническое уравнение заметно упрощается:
А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот:
Прямые пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена.
Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: .
Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей:
Построить гиперболу и найти её фокусы.
Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустит, тот пропустит многое 😉 Решение и чертёж в конце урока.
Начнём тревожить беззаботное существование нашей кривой:
Поворот вокруг центра и параллельный перенос гиперболы
Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: .
Теперь рассмотрим уравнение , которое очевидно тоже задаёт гиперболу. Однако к исходному уравнению оно также не имеет никакого отношения! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами на оси ординат.
И, наконец, оставшийся случай задаёт нашу гиперболу , повернутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась такая неканоническая запись?
Если требуется только построить кривую, то строим её в предложенном виде. Это довольно просто. Уравнения асимптот гиперболы обладают обратными угловыми коэффициентами:
Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы:
И найдём несколько дополнительных точек:
Выполним чертёж:
Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа.
Однако по возможности всё-таки лучше осуществить поворот на 90 градусов и переписать уравнение в канонической форме. Для этого следует поменять местами значения полуосей и переставить «минус» к переменной «игрек»: .
И далее работать уже с каноническим уравнением.
! Примечание: строгий теоретический подход предполагает поворот координатных осей, а не самой линии. При необходимости оформляйте решение по аналогии с соответствующим примечанием предыдущего урока.
Параллельный перенос. Уравнение задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой полуосью «бэ» и центром в точке .
Так, например, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам:
Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса:
Параллельный перенос гиперболы доставил заметно больше хлопот, чем параллельный перенос эллипса, смотрим на картинку:
После таких трудов, уравнение трогать бессмысленно, но если таки просят, то придётся….
В нестрогом варианте: «Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду путём параллельного переноса в начало координат: ».
Или в строгом – с параллельным переносом системы координат началом в точку
(см. шаблон у эллипса).
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положения. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.
На следующем чертеже изображены графики кривых :
Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: .
Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу и разобрать каноническое уравнение , но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр , и чертеж с точкой фокуса , директрисой был бы крайне невразумителен.
2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение задаёт ту же параболу с вершиной в точке . По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».
Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:
Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.
Как лучше действовать?
По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями .
Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении!
Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка.
Решения и чертежи:
Пример 5: Решение: данная гипербола является равносторонней, поэтому имеет асимптоты . Действительная полуось , значит, вершины расположены в точках . Найдём дополнительные точки:
Определим координаты фокусов:
Выполним чертёж:
Перед вами «школьная» гипербола в каноническом положении. График функции получается путём поворота (вокруг начала координат) построенного графика на 45 градусов против часовой стрелки (а если строже – путём поворота системы координат на противоположно ориентированный угол в «минус» 45 градусов).
И в общем случае – график обратной пропорциональности представляет собой равностороннюю гиперболу, уравнение которой можно привести к каноническому виду .
Пример 7: Решение: преобразуем уравнение:
Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений найдём дополнительные точки:
Выполним чертёж:
Парабола получена путём поворота параболы на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения находим фокальный параметр , фокус и уравнение директрисы .
Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
как записать уравнение параболы по графику, помогите пожалуйста додумать!
это парабола
ее уравнение ax^2+bx+c=0
я знаю наверняка что а больше нуля, т.к. ветви вверх, я знаю что с=0 и знаю что b меньше 0
вижу точки пересечения с осью ох, так называемые нули функции: 0 и 5
вижу вершину.
дальше не знаю, как развить мысль! если я пойму вот это одно задание, следующие 4 сделаю сама.
Лучший ответ
y=a(x-x1)(x-x2)
x1=0
x2=5
f(2.5)=-2
-2=a(x-5)x
a=-2/((2.5-5)*2.5)=8/25
y=8/25x(x-5)
Остальные ответы
Уравнение параболы Y=aX^2+bX+c . Если x=0 иY=0, то сразу находим с=-2. Дальше решаем систему из двух уравнений, подставляя в уравнение значения X и Y в точках (5,0) и (2.5, -2) для нахождения коэф а и b.
Похожие вопросы