Отрицательная степень числа
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a 5 — 8 = a -3 .
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
| a 5 | = | 1 | . |
| a 8 | a 3 |
| a -3 = | 1 | . |
| a 3 |
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| x 2 |
| 1 | = x -2 . |
| x 2 |
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| (m + n) 2 |
| 1 | = (m + n) -2 . |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
3. Число со степенью
Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Например, размеры различных тел лежат в пределах от микроскопических до космических масштабов и различаются в \(1000000000000000000000000000000. \) раз (всего надо написать \(60\) нулей).
Как же записать очень малое или очень большое число, чтобы сэкономить бумагу, чтобы легко было оперировать этими числами — складывать, вычитать, умножать, делить, да и вообще быстро прочитать и понять записанное?
Наиболее удобный способ записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя \(10\) в некоторой степени.
например, число 2000 можно записать как 2 ⋅ 1000 , или 2 ⋅ 10 3 . Степень \(10\) (в данном случае «\(3\)») показывает, сколько нулей нужно приписать справа за первым множителем (в нашем примере — «\(2\)»).
Это называют записью числа в стандартной форме.
Если число содержит более чем одну значащую цифру, например 21500 , то его можно записать как 2150 ⋅ 10 1 , или 215 ⋅ 10 2 , или 21, 5 ⋅ 10 3 , или 2, 1 5 ⋅ 10 4 , или 0, 2 1 5 ⋅ 10 5 , или 0,0 2 1 5 ⋅ 10 6 , и так далее.
Обрати внимание!
Надо запомнить: в стандартной форме числа до запятой всегда оставляют только одну цифру, отличную от нуля, а остальные цифры записывают после запятой.
Итак, в стандартной форме число 21500 = 2, 1 5 ⋅ 10 4 .
Когда надо будет «разворачивать» (то есть записывать в обычном виде) число, представленное в стандартной форме, например 3,71 ⋅ 10 5 , то начинай отсчитывать цифры в количестве пяти (таков в нашем примере показатель степени десяти) сразу после запятой, включая и значащие цифры «\(71\)», а недостающие цифры замени нулями: 3,71 ⋅ 10 5 = 371000 .
С большими числами мы разобрались, перейдём теперь к малым.
число 0,0375 тоже можно записать в стандартной форме так: 3, 75 ⋅ 10 − 2 . Первый множитель — первая значащая цифра, затем запятая и остальные цифры (в нашем примере это «\(3\)», «запятая», «\(75\)»). Показатель степени равен позиции после запятой, на которой стоит первая отличная от нуля цифра (в нашем примере это вторая позиция, поскольку именно там стоит первая ненулевая цифра «\(3\)»).
Перед показателем ставится знак « минус », и это означает, что при «разворачивании» числа нули нужно будет ставить не справа, а слева.
Степень с отрицательным показателем
Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?
В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:
Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).
Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:
![\[{a^{ - \frac{m}{n}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{m}{n}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{{a^m}}}}}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f254560bb8fcb015d461ea7fd7b2203_l3.png)
(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).
Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:
Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.
Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.
Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.
Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.
![\[3){( - 5)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 5)}^3}}} = \frac{1}{{ - 125}} = - \frac{1}{{125}};\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c642148bceca01a966bd888eb46dfb6_l3.png)
![\[4){(\frac{5}{{12}})^{ - 1}} = \frac{{12}}{5} = 2,4;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46f3c31569e6682b104260a6d5024c0d_l3.png)
![\[5){(\frac{2}{9})^{ - 2}} = {(\frac{9}{2})^2} = \frac{{81}}{4} = 20\frac{1}{4}.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-669febb2a9ef87705add1495b221efba_l3.png)
Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:
![\[6){(1\frac{2}{3})^{ - 4}} = {(\frac{5}{3})^{ - 4}} = {(\frac{3}{5})^4} = \frac{{81}}{{625}};\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59a3bb020b3f082e862474ad237109a6_l3.png)
![\[6){( - 5\frac{1}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{{11}}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{2}{{11}})^2} = \frac{4}{{121}}.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-706d32f6b6b3fddf547d8e0dbc6d41d8_l3.png)
Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:
![\[8){(49)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{49}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {49} }} = \frac{1}{7};\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-812a03ad9daf7bddf9de2856aa494995_l3.png)
![\[9){(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{{(0,216)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(0,216)}^2}}}}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01631cceec047c18c25d251a3b19adc8_l3.png)
![\[ = \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{{(0,216)}})}^2}}} = \frac{1}{{{{(0,6)}^2}}} = \frac{1}{{0,36}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d1266a60867817aa5e91614085e2482_l3.png)
![\[ = \frac{1}{{\frac{{36}}{{100}}}} = \frac{{100}}{{36}} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9};\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32910f0dd5ebcb1d0a640bc16951535e_l3.png)
При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:
![\[{(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{216}}{{1000}})^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{27}}{{125}})^{ - \frac{2}{3}}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be15b66709d0c38674715a159e2ef084_l3.png)
![\[ = {(\frac{{125}}{{27}})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{{27}})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{27}}}})^2} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c2a8ae9e9aa4c028e59cf406bdb2e1f_l3.png)
Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:
![\[10){(0,0004)^{ - 1,5}} = {(\frac{4}{{10000}})^{ - 1,5}} = {(\frac{1}{{2500}})^{ - 1,5}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2880f5bea348c2a66649f69bff94b60_l3.png)
![\[ = {2500^{1,5}} = {2500^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{2500}^3}} = {(\sqrt {2500} )^3} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b00e1353ce4bc0cd6a0c9d9352c0d40f_l3.png)
Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.
14 комментариев
Большое спасибо!
Спасибо огромное.
Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(
Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.
Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. » :)) А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно? Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д. �� При разбавлении спирта водой, в конце концов! :)) Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи: В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…
Вообще-то знание и умение решать примеры с отрицательной степенью никак не поможет в задаче с разными процентами уксуса. Просто заговор против большинства людей))
Отрицательное число в степени
Насколько я понимаю, если отрицательное число нужно возвести в четную степень, мы должны поставить скобки (-х) ^2, иначе получится отрицательное число. Вопрос вот в чем: когда может пригодиться использование без скобок и как это вообще выглядит? То есть, в математике в будущем ты либо видишь такое число, либо ставишь скобки по правилу? Не понимаю как это работает в смысловом плане, от чего что выходит и зачем. Расскажите пожалуйста, как использовать вариант без скобок и для чего это исключение нужно, пожалуйста.
Лучший ответ
Скобки нужны для изменения приоритета операции. Сначала степени, потом скобки, потом умножение/деление, потом сложение/вычитание.
Если стоит -3^2 — сначала возведение в степень, потом умножение на -1.
Если стоит (-3)^2 — то возведение в степень отрицательного числа.
Al WvУченик (121) 2 года назад
Хорошо, спасибо, а зачем и для чего, и где мне может понадобиться изменение приоритета операции?
Allegoriya Искусственный Интеллект (251749) Al Wv, в алгебре — практически везде.
Остальные ответы
Скобки ставятся в таких примерах: 5*12*(-2)
Если скобки не ставить, будет выглядеть так: 5*12-2, будто ты вычитаешь из (5*12) число 2
В таком примере: -2*5*12 скобки можно не ставить, так как перед отрицательным числом нет других чисел и путаницы не возникнет
И скобки не влияют на то какое число получится, и (-5)³, и -5³, и (-5³), равны = -125
Al WvУченик (121) 2 года назад
Все нечетные равны. В четных же, ситуация другая: изменение числа на противоположное считается тоже действием, поэтому, если не стоит скобок, то сначала мы возводим в степень, а потом меняем знак (получается отрицательное — -2^2=-4), если скобка стоит (приоритет отдан изменению числа на положительное), то сначала меняем знак на противоположный, а потом возводим степень (-2)^=4. И я вот всё не могу понять, где первый вариант решения уместен и нужен.
Ratewio Мыслитель (7160) Al Wv, нигде, это нигде не используют, зачем ставить два «-«, когда два «-» — это «+»
Пригодиться может при работе с векторами или моментами в теоретической механике. Там знак обозначает направлении действия, если убрать минус сила или момент станут действовать в другую сторону, совсем другой результат может получиться.