Сколько узлов в представленной ниже схеме

Работа с электрическими цепями на схеме

Цепь — это линия электрической связи, объединяющая компоненты, расположенные на схеме. Одна цепь может иметь неограниченное количество ответвлений. Цепь может состоять из ортогональных сегментов, которые размещаются по линиям базовой сетки схемотехнического редактора.

Размещение цепи

Для размещения электрической цепи на схеме выберите инструмент «Добавить цепь» из панели инструментов.

Допустимые объекты для начала размещения цепи

Если находясь в режиме размещения цепи, курсор наведен на объект, к которому можно подключить цепь, то на данном объекте отобразится зеленый квадрат, указывающий на возможность начала размещения цепи.

Точкой начала размещения цепи может быть:

Электрическое окончание вывода компонента
Контакт компонента, подключенный к цепи
Существующая цепь
Узел соединения цепей
Шина
Свободный конец проводника

Запрещенные объекты для начала размещения цепи

Если находясь в режиме размещения цепи, курсор наведен на объект, к которому подключение цепи невозможно, то на таком объекте отобразится красный квадрат.

Произвольная точка рабочей области
Точка пересечения цепей
Узел соединения цепей с четырьмя подключениями
Графика порта (силового и соединительного)

Также запрещается проведение цепи поверх размещенного на схеме компонента. Графикой компонента считается вся область находящаяся внутри линий границ компонента, установленных в настройках данного УГО. При проведении цепи запрещается наложение ее сегментов на имеющиеся на схеме цепи и шины.

Способы размещения цепи

Выбрав инструмент размещения цепи и указав точку, с которой будет начинаться цепь, под курсором начнет пунктиром отображаться предварительный вид цепи и ее имя (Рис. 1).


Рис. 1 — Предварительный вид цепи

Существуют два способа провести цепь к нужной точке подключения:

автоматическая прокладка цепи
ручной режим размещения цепи

Автоматическая прокладка цепи

При автоматической прокладке цепи требуется задать лишь начальную и конечную точки подключения, и цепь будет проложена автоматически. При задании конечной точки цепи она также как и начальная, должна быть доступной для выполнения подключения. При построении цепи будут учтены все области, по которым запрещена прокладка цепи (Рис. 2).


Рис. 2 — Автоматическая прокладка цепи

Однако автоматическая прокладка цепи не всегда обеспечивает оптимальную форму итоговой цепи. Во избежание этого пользователь может использовать ручной режим размещения цепи.

Ручной режим размещения цепи

Цепь в общем случае состоит из сегментов — прямых участков цепи. Ручной режим обеспечивает поэтапное задание этих сегментов. После начала размещения цепи, при перемещении курсора по схеме показывается предварительный вид цепи, состоящей из одного или нескольких сегментов. После нажатия левой кнопки мыши показанные сегменты фиксируются, а инструмент продолжает оставаться активным для последующего размещения цепи. При дальнейшем перемещении курсора показывается предварительный вид цепи, автоматически построенной от последней зафиксированной точки до текущего положения курсора, зафиксированные сегменты остаются неизменными (Рис. 3).


Рис. 3 — Ручной режим размещения цепи

Ручной режим размещения и автоматическая прокладка цепи могут быть использованы комбинированно, так как автоматическая прокладка доступна при наличии зафиксированных вручную сегментов.

После того, как была указана конечная точка подключения цепи, цепь принимает свой окончательный вид, все ее сегменты фиксируются. Инструмент остается активным для размещения новой цепи. Для того чтобы выйти из режима размещения цепи, нажмите правую кнопку мыши и в контекстном меню выберите пункт «Выйти из инструмента».

Также можно завершить цепь в произвольном месте редактора. Для этого зафиксируйте один или несколько сегментов цепи, нажмите правую кнопку мыши и выберите пункт «Завершить». В этом случае на конце последнего зафиксированного сегмента образуется символ свободного конца проводника (или незавершенной цепи). Этот символ означает, что данная точка доступна для электрического подключения.

Рис. 4 — Завершение цепи в произвольном
месте редактора (Шаг 1)

Рис. 5 — Завершение цепи в произвольном
месте редактора (Шаг 2)

Для того чтобы в режиме размещения цепи удалить все ее построенные сегменты, нажмите правую кнопку мыши и выберите пункт «Отменить». При этом будут удалены все зафиксированные сегменты и произойдет выход из инструмента размещения цепи.

Редактирование цепи

Вид (траекторию) проложенной цепи можно отредактировать. Для работы с цепью или ее сегментами, их необходимо выделить.

Выделение цепи

Наведите курсор на цепь. Цепь будет подсвечена и во всплывающей подсказке будет отображено имя цепи (Рис. 6).
Нажмите левую кнопку мыши. Будет выделен тот сегмент цепи, который находится под курсором мыши (Рис. 7).
Нажмите левую кнопку мыши еще раз. Цепь будет выделена целиком (Рис. 8). Повторное нажатие левой кнопки мыши опять приведет к выделению сегмента цепи, находящегося под курсором.


Рис. 6 — Наведение курсора на цепь	Рис. 7 — Выделение сегмента цепи	Рис. 8 — Выделение цепи целиком

С помощью рамки выделения можно выделить только всю цепь целиком.

Перемещение сегментов цепи

Выделите сегмент цепи, который нужно переместить (Рис. 9).
С зажатой левой кнопкой мыши перетащите выделенный сегмент. Сегмент может перемещаться только параллельно своему изначальному положению, за счет изменения соседних сегментов (Рис. 10).
Отпустите левую кнопку мыши, новое положение сегмента зафиксируется. Если при перемещении сегмент оказался совмещен с другими сегментами, то эти сегменты будут объединены.


Рис. 9 — Перемещение сегмента (Шаг 1)	Рис. 10 — Перемещение сегмента (Шаг 2)

Свойства цепи

В зависимости от того, выделен сегмент цепи или вся цепь целиком, в панели «Свойства» будет отображаться разный набор свойств (Рис. 11, 12).


Рис. 11 — Свойства сегмента цепи	Рис. 12 — Свойства цепи

Параметры в панели «Свойства» можно разделить на три группы:

Общие свойства цепи
В поле «Имя» отображается текущее имя цепи, которое доступно для редактирования. Имя цепи можно изменить и через свойства сегмента цепи, и через свойства всей цепи. В полях «Лист» и «Проект» отображается справочная информация об имени листа, на котором размещена цепь, и названии проекта.
Стиль отображения цепи
В категории «Линия» отображаются параметры стиля цепи. Данные свойства доступны для редактирования только через свойства всей цепи.
Свойства метки цепи

В свойствах сегмента цепи присутствует категория «Метка», содержащая параметры отображения метки у данного сегмента. Метка цепи представляет собой текстовую надпись, содержащую имя данной цепи (Рис. 13). Для того чтобы включить отображение метки у сегмента, поставьте флажок в поле «Метка».


Рис. 13 — Метка сегмента цепи

Настройка отображения метки сегмента

Для метки сегмента цепи доступны следующие возможности редактирования:

Изменение места отображения


Рис. 14 — Перемещение метки цепи


Рис. 15 — Свойства метки цепи

Переименование цепи

При создании новой цепи ей по умолчанию присваивается имя в формате «NETXXXX», где «XXXX» — номер цепи, то есть «NET0001», «NET0002» и т.д. Имя цепи можно изменить в панели «Свойства», выделив сегмент цепи или всю цепь целиком. При этом переименование сегмента цепи приводит к изменению имени всей цепи.

Выделите требуемую цепь или ее фрагмент
В панели «Свойства» нажмите на три точки «. » в поле «Имя» (Рис. 16)


Рис. 16 — Вызов формы переименования цепи


Рис. 17 — Форма переименования цепи

Соединение цепей

В схемотехническом редакторе цепи могут быть соединены несколькими способами:

если между ними есть линии электрической связи;
если они имеют одинаковые имена;
с помощью портов.

Цепи могут быть соединены как на одном листе, так и на разных листах проекта. Рассмотрим первые два способа

Соединение цепей с помощью линий электрической связи

При подключении одной цепи в редакторе к другой цепи (Рис. 18), в точке их соединения образуется узел соединения, обозначающий, что эти цепи соединены друг с другом (Рис. 19).


Рис. 18 — Соединение цепей в редакторе (Шаг 1)	Рис. 19 — Соединение цепей в редакторе (Шаг 2)

У цепей при их физическом соединении линией электрической связи автоматически меняются имена таким образом, что в результате все сегменты итоговой цепи имеют одно и то же имя.

Если ни на одной из соединяемых цепей нет порта, то итоговое имя определяется порядком подключения.

При соединении двух размещенных на схеме цепей, итоговая цепь будет иметь имя той цепи, с которой мы начали размещать линию связи (в приведенном выше примере это цепь «NET0002»).
Если к имеющейся на схеме цепи подсоединяется новая цепь, то независимо от порядка подключения, итоговая цепь будет иметь имя имеющейся (изначальной) цепи.

Соединение свободных концов цепи

Как говорилось выше, в редакторе схем можно продолжить размещение цепи из свободного конца проводника (Рис. 20).


Рис. 20 — Свободный конец цепи

Соединить свободный конец проводника с выводом компонента, имеющейся цепью или другим свободным концом цепи можно несколькими способами:

С помощью инструмента размещения цепи
Для этого нужно выбрать инструмент «Добавить цепь», выбрать в качестве начальной точки свободный конец проводника, а затем в качестве конечной точки указать необходимый объект. В результате символ свободного конца проводника исчезнет и от него построятся линии электрического соединения.
С помощью перетаскивания свободного конца цепи
Для этого нужно выделить символ свободного конца цепи и перетащить его к объекту, к которому необходимо произвести подключение цепи — автоматически произойдет соединение незавершенной цепи и выбранного объекта (Рис. 21, 22).


Рис. 21 — Образование соединения при перетаскивании свободного конца цепи (Шаг 1)	Рис. 22 — Образование соединения при перетаскивании свободного конца цепи (Шаг 2)

Соединений цепей с помощью их переименования

Соединить цепи в редакторе можно также с помощью задания у этих цепей одинаковых имен. В таком случае цепи считаются соединенными, даже если между ними нет физических линий связи.

Выделите цепь, которую нужно соединить с другой цепью, или ее сегмент.
В панели «Свойства» вызовите форму переименования цепи из поля «Имя» (Рис. 16).
В открывшей форме выберите из списка цепь, с которой нужно произвести соединение (также можно ввести это имя в поле «Введите новое имя. «).
Нажмите кнопку «Изменить».

Размещение портов

В отличие от цепей, которые создают физические соединения на схеме, порты используются для создания логических соединений. Порты используются в тех случаях, когда проведение линий электрического соединения либо невозможно (например, соединение между разными листами схемы), либо загромождает схему.

Добавление порта

В программе Delta Design порт создается непосредственно для выбранной цепи. Необходимо завершить цепь в произвольном месте редактора, чтобы образовался символ свободного конца цепи. На месте этого символа и будет создан порт.

Порты делятся на две группы:

силовые;
соединительные.

Добавление силового порта

Выделите символ свободного конца цепи.
Нажмите правую кнопку мыши и из контекстного меню выберите пункт «Разместить порт питания» (Рис. 23).


Рис. 23 — Вызов формы для размещения силового порта


Рис. 24 — Форма размещения силового порта


Рис. 25 — Силовой порт

Добавление соединительного порта

Соединительные порты используются для образования логического соединения цепей в рамках одного листа или на разных листах проекта.

Выделите символ свободного конца цепи.
Нажмите правую кнопку мыши и из контекстного меню выберите пункт «Разместить порт соединитель» (Рис. 26).


Рис. 26 — Вызов формы для размещения соединительного порта


Рис. 27 — Форма размещения соединительного порта (новый порт)


Рис. 28 — Форма размещения соединительного порта (соединение с другим портом)

Перемещение порта в редакторе схем

Размещенный на схеме порт (любого типа), также как и свободный конец цепи, можно перемещать на листе схемы. Для этого выделите порт и, с зажатой левой кнопкой мыши, перетащите его на нужное место на листе. При этом стоит отметить, что перерасчет траектории цепи, связанной с портом, будет происходить от точки последнего места размещения этого порта (Рис. 29, 30).


Рис. 29 — Перемещение порта (Шаг 1)	Рис. 30 — Перемещение порта (Шаг 2)

По аналогии со свободными концами цепей, можно произвести подключение порта с другим объектом с помощью перетаскивания порта. Если перетащить порт к объекту, с которым возможно произвести подключение, то порт исчезнет и произойдет соединение цепи, связанной с портом, и выбранного объекта.

Изменение типа и символа порта

Изменение типа порта

Чтобы сменить тип порта с силового на соединительный (или наоборот), нужно сначала удалить имеющийся порт, чтобы в результате образовался символ свободного конца цепи. Тогда для него будут снова доступны функции размещения порта, из которых необходимо выбрать нужную.

Изменение символа порта

Для силовых портов невозможно изменить символ порта, т.е. для того чтобы, например, изменить символ с «GND» на «VCC» нужно удалить силовой порт и разместить на его месте новый порт с требуемым символом.
Для соединительных портов доступно изменение символа порта. Для этого выделите соединительный порт в редакторе, в панели «Свойства» раскройте выпадающий список в поле «УГО» и измените символ порта (Рис. 31). При этом изменится графика соединительного порта в редакторе.


Рис. 31 — Изменение символа соединительного порта

Стоит отметить, что пользователь сам контролирует использование соединительных портов и смену их символов. То есть, внутрилистовой порт можно соединить с межлистовым портом или изменить произвольным образом символ соединительного порта. Данные преобразования должны определяться логикой построения электрической схемы.

Удаление порта

Для того чтобы удалить порт, выделите его в редакторе, кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите из контекстного меню пункт «Удалить» (Рис. 32).


Рис. 32 — Удаление порта

При этом символ силового или соединительного порта исчезнет, и на конце цепи появится символ свободного конца проводника.

Если происходит удаление соединительного порта, то оставшаяся цепь сохраняет имя удаленного порта. Другими словами, удаление соединительного порта не производит логическое разъединение цепей, которые были объединены с помощью этих портов. Для того чтобы разъединить цепи, нужно явно изменить их имена.
Если происходит удаление силового порта, то оставшаяся цепь изменяет свое имя на ближайшее свободное имя по умолчанию. Таким образом, удаление силового порта приводит к разъединению соответствующей цепи от остальных силовых портов.

Работа с цепями в панели «Менеджера проекта»

Просмотр списка цепей

Для того чтобы увидеть информацию обо всех электрических цепях проекта, необходимо открыть панель «Менеджер проекта» и перейти на закладку «Цепи» (Рис. 33).


Рис. 33 — Панель «Менеджер проекта» (Закладка «Цепи»)

В верхней части панели отображается строка поиска по содержимому активной закладки панели. Внутри узла с именем проекта («Test_01») находится список разделов. В папке «Цепи» отображается перечень всех цепей проекта. При выделении какой-либо цепи в нижней части панели показывается информация о подключениях данной цепи к выводам компонентов с указанием имени компонента и названия листа.

Цепи питания

Цепи питания — это цепи, имеющие порты питания, или объединенные с ними цепи. Информацию о силовых цепях можно посмотреть двумя способами:


Рис. 34 — Папка «Цепи питания»


Рис. 35 — Вызов формы силовых выводов

При выборе пункта «Управление контактами цепей питания» откроется форма просмотра силовых выводов (Рис. 36). В таблице представлена информация обо всех силовых цепях и выводах, которые к ним подсоединены. Если поставить флажок в поле «Group by Nets», данные будут сгруппированы по имени цепи. В этом случае таблица примет вид, аналогичный списку силовых цепей в папке «Цепи питания». Помимо цепей питания, непосредственно размещенных в редакторе схем, в таблице также будет показана информация о скрытых силовых выводах компонентов, находящихся на схеме. При добавлении на схему компонента со скрытым выводом, автоматически будет создаваться цепь с именем этого вывода. Так, выводы «7» и «14» у компонента «DD1» на рис. 36 являются скрытыми и не присутствуют в явном виде на схеме, однако для них создаются силовые цепи «GND» и «VCC» соответственно.


Рис. 36 — Форма просмотра силовых выводов

Функции доступные для цепи

В панели «Менеджер проекта» для цепей доступны следующие функции:

Показать цепь на схеме

Выделите необходимую цепь, кликните на ней правой кнопкой мыши и в контекстном меню выберите пункт «Показать на схеме» (Рис. 37). В результате выбранная цепь будет подсвечена в редакторе, при этом все остальные объекты на листе будут отображаться слегка приглушенно. Чтобы выйти из данного режима, кликните в редакторе правой кнопкой мыши и выберите пункт «Выйти из инструмента» (Рис. 38).


Рис. 37 — Функция «Показать на схеме»	Рис. 38 — Выход из режима подсветки цепи на схеме

Чтобы подсветить цепь на схеме, можно также дважды кликнуть на ней левой кнопкой мыши в панели «Менеджер проекта».

Выделить цепь

Выберите необходимую цепь, кликните на ней правой кнопкой мыши и в контекстном меню нажмите пункт «Выделить» (Рис. 39). В результате выбранная цепь окажется выделенной в редакторе, при этом все остальные объекты сохранят свое обычное отображение (Рис. 40). В панели «Свойства» будут показаны свойства выделенной цепи, доступные для редактирования. Если аналогичным образом выделить теперь другую цепь из списка, то она добавится к выделению первой цепи в редакторе. Таким образом, такое последовательное выделение цепей из панели «Менеджер проекта» является аналогом группового выделения в редакторе с помощью клавиши Shift.


Рис. 39 — Функция «Выделить»	Рис. 40 — Результат работы функции «Выделить»

Подсветить цепь

Для электрических цепей доступна возможность подсветки цепей разными цветами для более удобного просмотра и анализа схемы. Подсветка цепей не сохраняется при сохранении проекта схемы и используется только как средство текущего момента разработки схемы.

Подсветить цепи можно двумя способами:

с помощью инструмента в редакторе

Выберите инструмент «Подсветить цепи»


Рис. 41 — Свойства инструмента подсветки цепей

Задав необходимый цвет в панели «Свойства», кликните в редакторе на цепь, которую нужно подсветить. При этом она выделится указанным цветом, при этом также будут подсвечены все ее фрагменты на всех листах проекта (Рис. 42).


Рис. 42 — Подсветка цепей в редакторе


Рис. 43 — Подсветка цепей в панели «Менеджер проекта»

Рядом с именем подсвеченной цепи в панели «Менеджер проекта» отображается кружок соответствующего цвета. Чтобы снять подсветку, кликните по цепи правой кнопкой мыши и из контекстного меню выберите пункт «Снять подсветку» (Рис. 44).


Рис. 44 — Снятие подсветки для цепи

Показать / выделить вывод выбранной цепи

При выделении цепи в панели «Менеджер проекта» в нижней части панели показывается информация о выводах компонентов, к которым эта цепь подключена. Из панели «Менеджер проекта» есть возможность подсветить нужный вывод в редакторе схем.

Также как и для самих цепей, для выводов существует две функции:

Показать вывод на схеме

из контекстного меню выберите пункт «Показать на схеме»


Рис. 45 — Показать вывод на схеме


Рис. 46 — Выделить вывод на схеме

Как решать задачи о прохождении тока через электрические схемы

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про подбрасывания игральных кубиков и монеток, задачи про стрелков и станки.

решаем задачи про электрические схемы

В этой статье мы рассмотрим задачи вида
«задана схема электрической цепи с надежностью элементов (или вероятностями выхода из строя), найти вероятность работы цепи (или вероятность разрыва цепи)».

Задачи могут иметь чуть разные формулировки, но принцип решения для них одинаков, и его мы изучим, чтобы суметь решать такие задачи со схемами любой сложности.

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Базовые события, обозначения и формулы

Самое первое, с чего мы начнем — формализация задачи (и решение любой своей задачи рекомендую начинать с этого). А именно, мы введем основные события:

$X$ = (Цепь работает) = (Цепь пропускает ток) и противоположное ему:
$\overline$ =(Цепь не пропускает ток) = (Произошел разрыв в цепи).

$A_i$ = (Элемент i работает, пропускает ток) и $\overline$ =(Элемент i отказал, не пропускает ток), $i=1,2. n$.

Обычно в условии задачи известны вероятности работы элементов (надежности): $p(A_i)=p_i$ или вероятности отказа $p(\overline)=q_i=1-p_i$, $i=1,2. n$.

Также напомним основные формулы (из темы действий с событиями, формулы сложения и умножения вероятностей), которые пригодятся в решении этого типа задач.

Для независимых в совокупности событий (а отказы/работа элементов цепи — именно такие):

$$ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B); \quad(1) $$ $$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B); \quad(2) $$ $$ P(A_1+A_2+. +A_n)=1-P(\overline)\cdot P(\overline)\cdot . \cdot P(\overline). \quad(3) $$

Последовательно или параллельно?

Еще немного времени посвятим теории, вспомним о том, как могут соединяться элементы в цепи.

Последовательное соединение

последовательное соединение элементов в цепи

Элементы цепи «нанизаны» на провод один за другим (следуют один за другим, отсюда и «последовательно»). Если откажет один любой — ток в цепи прервётся. Или, иначе говоря, цепь работает тогда и только тогда, когда ВСЕ элементы работают. В терминах теории вероятностей получаем произведение событий: $X=A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$, а вероятность работы цепи равна

$$ P(X)=P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)= P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) =p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. $$

Если в цепи последовательно соединены не три, а больше независимо работающих элементов, формула легко обобщается и получаем:

$$ P(X) = p_1 \cdot p_2 \cdot . \cdot p_n; \qquad P(\overline)=1-p_1 \cdot p_2 \cdot . \cdot p_n. \quad(4) $$

Параллельное соединение

параллельное соединение элементов в цепи

Тут тоже сама схема дает нам подсказку, когда мы видим, что элементы в схеме расположены как бы на параллельных проводах, речь идет о параллельном соединении.

В этом случае если откажет, скажем, элемент 1, ток может пройти через 2. Если откажут 1 и 2, ток пройдет через 3. И только если ВСЕ элементы откажут, цепь разорвется.

Еще говорят, цепь работает, если работает хотя бы один элемент в ней, в терминах теории вероятностей — это сумма событий: $X=A_1+A_2+A_3$.

Используем формулу (3) чтобы записать вероятность работы такой цепи:

$$ P(A_1+A_2+A_3)=1-P(\overline)\cdot P(\overline) \cdot P(\overline)=1-q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. $$

И обобщим на случай $n$ параллельных элементов в цепи:

$$ P(X) = 1-q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n; \qquad P(\overline)=q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. \quad(5) $$

Важно запомнить правило

Последовательному соединению соответствует произведение событий,
параллельному соединению — сумма событий.

Усложняем схему цепи

И все это была присказка к настоящему решению задач. Конечно, даже если у вас простая контрольная, схема с «тремя лампочками подряд» вряд ли попадется. Давайте посмотрим на типовые электрические схемы, для которых надо находить надежность в задачах:

Примеры цепей в задачах на вероятность

Как для таких схем выписывать вероятности? Нам нужно научиться делать декомпозицию: выделять уровни схемы и определять тип соединения на каждом уровне.

Возьмем для примера левую верхнюю схему:

найти надежность цепи, 9 элементов

Работаем с первым уровнем схемы. Нужно мысленно выделить крупные части, которые между собой соединены одинаково (параллельно или последовательно). В данном случае видно три группы элементов, соединенных последовательно. Выделим для наглядности цветом:

цепь: выделили цветом группы

То есть тип схемы на первом уровне — последовательный:

скелет цепи: выделили цветом группы

Как мы уже знаем, если соединение последовательное, нужно перемножать события, то есть

$$ X=X_1 \cdot X_2 \cdot X_3, $$

$X_1$ — работает первая группа элементов,
$X_2$ — работает вторая группа элементов,
$X_3$ — работает третья группа элементов.

Теперь смотрим на каждую группу. В первой группе всего один элемент, то есть она работает, когда работает первый элемент цепи ($X_1=A_1$). Мы дошли до элемента, разбор этой группы закончен.

А вот дальше интереснее. Рассмотрим поближе вторую группу:

подробнее: группа 2

В ней сразу выделим цветом подгруппы элементов. Видно, что вторая группа имеет уже параллельную структуру из розовых и фиолетовых элементов (они «висят» на параллельных линиях, это второй уровень вложенности схемы). А вот внутри розовые соединены последовательно (розовая группа работает — $A_4 \cdot A_5$), фиолетовые элементы также между собой последовательно (фиолетовая группа работает — $A_2 \cdot A_3$). Это уже третий уровень вложенности и он заканчивается отдельными элементами, значит, разбор окончен.

Так как розовая и фиолетовая группа соединены параллельно, речь идет о сумме этих событий, то есть вторая группа работает если:

$$X_2 = A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5.$$

Абсолютно аналогично разбирается третья подгруппа (она совпадает по структуре со второй):

$$X_3 = A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9.$$

Сводим все в одну формулу и выпишем искомое событие (Цепь работает исправно):

$$ X=X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 = A_1 \cdot \left( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right) \cdot \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right). $$

Теперь переходим ко второму этапу решения задачи. Не забываем, что мы решаем задачу по теории вероятностей и надо определить вероятность того, что ток проходит в цепи. Будем использовать формулы (1)-(3).

Так как вероятность произведения для независимых событий равна произведению вероятностей, получим:

$$ P(X)= P \left( A_1 \cdot \left( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right) \cdot \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right) \right) =\\ = P (A_1) \cdot P \left ( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right ) \cdot P \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right) = $$

Для множителей с суммой событий внутри используем формулу (2):

$$ = P (A_1) \cdot \left[ P(A_2 \cdot A_3) + P(A_4 \cdot A_5) — P(A_2 \cdot A_3 \cdot A_4 \cdot A_5) \right] \cdot \left[ P(A_6 \cdot A_7) + P(A_8 \cdot A_9) — P(A_6 \cdot A_7 \cdot A_8 \cdot A_9)\right] = $$

И снова раскрываем вероятности произведений:

$$ = P (A_1) \cdot \left[ P(A_2) \cdot P(A_3) + P(A_4) \cdot P(A_5) — P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5) \right] \cdot \left[ P(A_6) \cdot P(A_7) + P(A_8) \cdot P(A_9) — P(A_6) \cdot P(A_7) \cdot P(A_8) \cdot P(A_9)\right]. $$

Перейдем к более компактной записи, положив $p_i=P(A_i)$:

$$ P(X)= p_1 \cdot \left[ p_2 \cdot p_3 + p_4 \cdot p_5 — p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 \right] \cdot \left[ p_6 \cdot p_7 + p_8 \cdot p_9 — p_6 \cdot p_7 \cdot p_8 \cdot p_9\right]. $$

Если заданы надежности отдельных элементов $p_i$, подставляя их в формулу, можно найти вероятность работы схемы.

Алгоритм разбора схемы

Выделяем в схеме основу: группы элементов, соединенные ТОЛЬКО последовательно или ТОЛЬКО параллельно между собой. Это верхний уровень. Записываем событие $X$ = (Цепь работает) как произведение или сумму соответственно.
Каждую полученную группу анализируем также: ищем в ней подгруппы, соединенные только последовательно или только параллельно. Записываем событие соответственно типу соединения.
Продолжаем до тех пор, пока не опустимся на уровень элементов (событий $A_i$).
Подставляем все выражения в исходную формулу, получаем итоговую запись события $X$.
Пользуясь формулами (1)-(3) выписываем вероятность события $P=P(X)$.
Подставляем числовые значения $p_i, q_i$ и находим численное значение надежности схемы $P$.
Если необходимо, находим вероятность отказа цепи $1-P$.

Примеры решений

Отработаем несколько раз этот алгоритм на примерах, чтобы он закрепился. схема цепи для задачи 1 по теории вероятностей (Максимов) Пример 1. Дана схема включения элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие $А_i$ означает безотказную работу за время Т элемента с номером $i$ ($i=1,2,3,…$), а событие $В$ – безотказную работу цепи. Требуется:
1) Написать формулу, выражающую событие $В$ через все события $А_i$.
2) Найти вероятность события $B$.
3) Вычислить $Р(В)$ при $р=0,6$. Приступим к разбору схемы. Можно увидеть, что на первом уровне мы имеем три группы, соединенные последовательно: (1), (2,3) и (4,5,6) элементы. Выделим их цветом для наглядности: разбор цепи на первом уровне Значит, исходное событие можно представить в виде произведения трех событий $B=B_1 \cdot B_2 \cdot B_3$, где $B_i$ — работает $i$-aя группа элементов. Первая группа элементов состоит из одного элемента, то есть $B_1=A_1$. Вторая группа элементов состоит из двух элементов, соединенных параллельно (см. розовые), поэтому $B_2=A_2+A_3$. разбор цепи на втором уровне Третья группа элементов (см. зеленые) состоит из трех элементов, ее можно представить как параллельное соединение двух подгрупп: (4 и 5, соединены последовательно) и (6), поэтому $B_3=A_4 \cdot A_5 + A_6$. Подставляем все и получаем выражение для события $B$ $$ B=B_1 \cdot B_2 \cdot B_3 = A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot (A_4 \cdot A_5 + A_6). $$ Теперь выразим вероятность безотказной работы цепи за время T. Сначала применим формулу (1), чтобы раскрыть произведение: $$ P(B)=P \left( A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot (A_4 \cdot A_5 + A_6) \right) = P(A_1) \cdot P \left( A_2+A_3 \right) \cdot P \left( A_4 \cdot A_5 + A_6 \right) = $$ Раскроем вторую вероятность по формуле (3), а третью по формуле (2), получим: $$= P(A_1) \cdot \left(1 — P(\overline) \cdot P(\overline) \right) \cdot \left( P(A_4) \cdot P(A_5) + P(A_6) — P(A_4) \cdot P(A_5) \cdot P(A_6) \right).$$ Подставляем $P(A_i)=p$ и получим: $$ p(B)=p\cdot(1-(1-p)\cdot(1-p))\cdot(p\cdot p + p -p \cdot p \cdot p) = p\cdot\left(1-(1-p)^2\right)\cdot \left(p+p^2-p^3\right). $$ Осталось только найти значение при $p=0,6$: $$ p(B)= 0,6\cdot\left(1-(1-0,6)^2\right)\cdot \left(0,6+0,6^2-0,6^3\right) \approx 0,375. $$
схема цепи для задачи 2 по теории вероятностей Пример 2. Найти вероятность обрыва цепи, если вероятность отказа каждого элемента равна 0,2, а отказы элементов – независимые события.
Пронумеруем элементы и сразу раскрасим схему, чтобы выделить ее структуру. схема цепи с раскраской для задачи 2 по теории вероятностей Это опять последовательная схема, но розовая группа состоит из двух элементов, соединенных параллельно, поэтому можем сразу выписать: $$ X= A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot A_4 \cdot A_5. $$ Найдем вероятность этого события (работы цепи): $$ P(X)= P \left( A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot A_4 \cdot A_5 \right)= P(A_1) \cdot P(A_2+A_3) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5)= \\ = P(A_1) \cdot \left( 1- P(\overline) \cdot P(\overline) \right) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5). $$ Вероятности отказа элементов цепи равна 0,2, вероятность работы элементов — 0,8, поэтому $$ P(X)= 0,8 \cdot \left( 1- 0,2 \cdot 0,2 \right) \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,492. $$ Но в задаче требовалось найти вероятность обрыва цепи, это противоположное событие: $$ P(\overline) = 1- P(X) = 1-0,492 = 0,508. $$

схема функциональной цепи для задачи 3 Пример 3. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность надежной работы элементов равна $p_1=p_2=p_3=p_4=0,8$, $p_5=p_6=p_7=0,9$. Приступим к решению, сразу раскрасив схему. В этот раз схема на первом уровне имеет параллельное соединение: верхняя розово-зеленая группа и нижняя желтая находятся на параллельных линиях. Поэтому $X=X_1+X_2$, где $X_1$ — работает розово-зеленая линия, $X_2$ — работает желтая. схема функциональной цепи для задачи 3 Для желтой группы, состоящей из трех последовательно расположенных элементов, сразу выписываем $X_2=A_5 \cdot A_6 \cdot A_7$. Теперь рассмотрим верхнюю группу. Она состоит из двух подгрупп, связанных последовательно: розовой и зеленой. При этом каждая из них состоит из двух параллельно соединенных элементов. Записываем: розовая группа работает = $A_1+A_2$, зеленая группа работает = $A_3+A_4$, значит ток проходит через розово-зеленую группу $X_1 =(A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4)$. Объединяем рассуждения и выписываем событие, соответствующее безотказной работе цепи: $$ X=X_1+X_2 = (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) + A_5 \cdot A_6 \cdot A_7. $$ Следующий шаг: выразить вероятность этого события. Во всех предыдущих примерах схема на первом уровне была последовательной, и событие выражалось как произведение. В этом случае схема на первом уровне параллельна, событие выглядит как сумма других событий, что немного усложняет выкладки. Для суммы событий можно использовать формулу (2) или (3), выбирая наиболее удобную в каждом конкретном случае. В данном случае слагаемых всего два, поэтому возьмем формулу (2): $$ P(X)= P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) + A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) = \\ = P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) \right) + P \left( A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) — P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) \cdot A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) $$ Раскрываем все произведения по формуле (1): $$ = P (A_1+A_2) \cdot P(A_3+A_4) + P(A_5) \cdot P(A_6) \cdot P(A_7) — P (A_1+A_2) \cdot P(A_3+A_4) \cdot P(A_5) \cdot P(A_6) \cdot P(A_7) = $$ По формуле (3) расписываем $P(A_1+A_2)=1-P(\overline) \cdot P(\overline) = 1-q_1\cdot q_2$ и $P(A_3+A_4)=1-P(\overline) \cdot P(\overline)= 1-q_3\cdot q_4$. Итого: $$ P(X)= (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4) + p_5 \cdot p_6 \cdot p_7 — \\- (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4) \cdot p_5 \cdot p_6 \cdot p_7. $$ Подставляем значения надежности элементов: $$ P(X)= (1-0,2^2)^2 + 0,9^3 — (1-0,2^2)^2 \cdot 0,9^3 \approx 0,9788. $$
Еще: другие уроки о решении задач по вероятности

На закуску: схема с мостиком

Для 99% учебных задач вам хватит той теории и примеров, что приведены выше: подробно изучите их и приступайте к своим примерам по аналогии. Но есть такие схемы, для которых нельзя выделить единую структуру на верхнем уровне — параллельную или последовательную, и весь алгоритм решения рушится. схема функциональной цепи с мостиком Речь идет о схемах смешанного типа, еще их часто называют схемами с мостиком (мостиковые схемы). Типичная схема имеет такой вид: Видно, что как ни крути, схему нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным. Элемент №5 (мостик) «портит» тип схемы. Если его убрать (разорвать этот участок цепи), получим обычную параллельную структуру, а если предположить, что через этот участок всегда идет ток — последовательную (конкретные схемы изобразим ниже). Поэтому для решения задачи о вычислении надежности подобной электросхемы используют формулу полной вероятности в форме теоремы разложения (см. подробнее тут, стр. 118) Надежность цепи с избыточностью равна произведению вероятности безотказной работы $i$-го элемента цепи на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения $i$-го элемента замкнуты накоротко) плюс произведение вероятности отказа того же $i$-го элемента на вероятность безотказной работы оставшейся цеии (места подключения $i$-го элемента разомкнуты). То есть, для выделенного на схеме элемента-мостика рассматриваем две гипотезы:
$H_1$ = (Элемент 5 не пропускает ток), $P(H_1)=1- p_5 = q_5$;
$H_2$ = (Элемент 5 пропускает ток), $P(H_2)=p_5$. Далее вычисляем надежность схемы при условии верности каждой из гипотез. Для наглядности нарисуем обе схемы: разложение цепи с мостиком на две Рассмотрим левую схему, верную при гипотезе $H_1$, через нее проходит ток, если $X|H_1 = A_1\cdot A_3+ A_2\cdot A_4$, вероятность $$ P(X|H_1) = P(A_1\cdot A_3+ A_2\cdot A_4)= P(A_1\cdot A_3)+ P(A_2\cdot A_4) — P(A_1\cdot A_3 \cdot A_2\cdot A_4)=\\ =p_1 \cdot p_3 + p_2 \cdot p_4 — p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4. $$ Рассмотрим правую схему, верную при гипотезе $H_2$, и выпишем для нее аналогично событие и вероятность прохода тока: $$ X|H_2 = (A_1+A_2)\cdot (A_3+A_4),\\ P(X|H_2) =P( (A_1+A_2)\cdot (A_3+A_4)) = P(A_1+A_2)\cdot P(A_3+A_4)=\\ = (1-P(\overline) \cdot P(\overline)) \cdot (1-P(\overline) \cdot P(\overline)) = (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4). $$ Тогда по формуле полной вероятности, надежность схемы равна: $$ P(X)=P(X|H_1)\cdot P(H_1) + P(X|H_2)\cdot P(H_2) = \\ = q_5 (p_1 \cdot p_3 + p_2 \cdot p_4 — p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4) + p_5 (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4). $$ Аналогичным образом можно разбирать более сложные схемы (в которые более одного мостика), применяя на каждом этапе формулу полной вероятности (как бы вкладывая одну в другую).

Понравилось? Добавьте в закладки

Полезные ссылки по ТВ

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете разные задачи по теории вероятностей с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Что такое диаграмма DFD и как ее создать?

Если вы грамотно выбрали программу для составления диаграмм DFD, вы без труда разберетесь в течении информационных потоков по своим системам. В этом руководстве вы найдете всю необходимую информацию о диаграммах DFD, включая основные определения, историю возникновения, а также символы и способы нотации. Вы познакомитесь с разными уровнями диаграмм DFD, научитесь различать их логические и физические варианты, а также найдете полезные советы по составлению диаграмм этого типа.

Читается за 10 мин.

Хотите создать собственную диаграмму? Попробуйте Lucidchart. Это быстро, легко и совершенно бесплатно.

Что такое диаграмма DFD?

Диаграмма DFD наглядно отображает течение информации в пределах процесса или системы. Для изображения входных и выходных данных, точек хранения информации и путей ее передвижения между источниками и пунктами доставки в таких диаграммах применяются стандартные фигуры, такие как прямоугольники и круги, а также стрелки и краткие текстовые метки. Диаграммы DFD варьируются от простейших набросков процессов (включая нарисованные вручную) до подробных многоуровневых схем с глубоким анализом способов обработки данных. Диаграммы DFD применяются для анализа существующих и моделирования новых систем. В лучших традициях визуализации данных диаграммы DFD часто наглядно «рассказывают» о процессах, которые сложно объяснить словами, и позволяют эффективно донести информацию и до «физиков», и до «лириков», то есть до всех участников организации — от разработчиков до генеральных директоров. Вот почему диаграммы DFD не утратили популярности за долгие годы существования. Однако стоит упомянуть, что хотя диаграммы DFD отлично подходят для программ и систем потоков данных, в наши дни они далеко не всегда отвечают требованиям ПО и систем, ориентированных на интерактивность, работу в реальном времени и базы данных.

Символы и способы нотации диаграмм DFD

Самые распространенные системы нотации DFD-схем названы в честь их создателей:

Йордон и Коуд;
Йордон и Де Марко;
Гейн и Сарсон.

Основное различие между этими системами заключается в том, что методы Йордона-Коуда и Йордона-Де Марко для обозначения процессов применяют круги, а метод Гейна-Сарсона — прямоугольные блоки со скругленными углами (которые иногда называют «конфетками»). Безусловно, у этих методов имеются и другие различия. Главное — четко придерживаться выбранной системы нотации при работе с другими участниками проекта.

Подчиняясь правилам и инструкциям выбранной системы, символы отображают четыре компонента диаграммы DFD:

Внешние сущности — внешние системы, из которых поступает или куда направляется информация в результате взаимодействия с изображаемой системой. Иными словами, это источники и пункты доставки информации, которая приходит или уходит из системы. Такими сущностями могут быть внешние организации, лица, компьютерные или бизнес-системы. Эти сущности также имеют другие названия, например, «терминаторы», «источники», «приемники» или «агенты», и, как правило, располагаются по краям схемы.
Процессы — любые процессы, которые ведут к изменению информации и созданию выходных данных. Например, выполнение подсчетов, сортировка данных согласно установленной логике или направление информационного потока в соответствии с бизнес-правилами. Для описания процессов используются краткие метки, например, «Отправка платежа».
Хранилища данных — файлы или репозитории, где хранится информация для последующего использования, например, базы данных или формы заявки на участие. Хранилища данных сопровождаются простыми метками, например, «Заказы».
Потоки дан

Похожие публикации:

Ардуино что такое библиотека

Как вернуть ворд в стандартный вид

Как очистить историю в яндекс переводчике

Почему отключается аппаратное ускорение в яндекс браузере